טופז נולד בשם דוד גולדנברג ללילי ואליהו גולדנברג. אביו היה קריין, שחקן ובמאי. כבר מגיל 16 החל דודו להופיע עם אביו ואחר כך גם עם אחיו הצעיר מיקי גולדנברג כשלישיה במופע "האנשים הקטנים" מאת שלום עליכם. במסגרת שירותו הצבאי השתתף טופז בצוות הווי גדנ"ע, תחת פיקודו של דודו דותן. לאחר שחרורו מצה"ל למד באקדמיה למשחק בלונדון. טופז החל את קריירת המשחק בתיאטרון חיפה, במקביל להופעות בידור שהעלה ברחבי הארץ. בשנות השבעים היה משתתף בולט בתוכנית הרדיו הקומית "לצון נופל על לצון", לצידם של דודו דותן, דלית אורמיאן, אבשלום קור ואחרים. עבודתו הראשונה בטלוויזיה הייתה כמורה לאנגלית בטלוויזיה החינוכית. בתחילת שנות השמונים החל להנחות שעשועוני טלוויזיה בערוץ הראשון. המצליח מביניהם והמזוהה איתו ביותר היה השעשועון "שחק אותה", בגינו זכה ביחד עם המפיק איציק קול ב"פרס כינור דוד". טופז השתתף גם בשלוש פרודיות על השעשועון "שחק אותה": מתיחה שצולמה לסרט של יהודה ברקן שבה מתרחשת סדרת תקלות בעת צילום השעשועון, פרק בסדרה זהו זה! ומערכון בהצגתו של טופז "פליטת פה". מעבר לזאת, בהצגה "פליטת פה" טופז נתן דוגמאות לבדיחות שכביכול לא הרשו לו לספר במהלך השעשועון. טופז הנחה לאחר מכן גם את השעשועונים, "צא מזה","תן קו", "חפש ת'פיפס" ושעשועון השידוכים "זה מה יש".